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leetcode 315 解题报告

一道由逆序对引出的题,考查了对经典的归并排序算法的理解。

题目描述

Count of Smaller Numbers After Self

You are given an integer array nums and you have to return a new counts array. The counts array has the property where counts[i] is the number of smaller elements to the right of nums[i].

Example:

Given nums = [5, 2, 6, 1]

To the right of 5 there are 2 smaller elements (2 and 1).
To the right of 2 there is only 1 smaller element (1).
To the right of 6 there is 1 smaller element (1).
To the right of 1 there is 0 smaller element.

Return the array [2, 1, 1, 0].

分析

题目要求每个数字右边比它小的数字的个数。初看有明显的暴力方法,每次扫描右边的数字,统计比它小的数字个数。时间复杂度是 。当然,这题出出来就不是用这个复杂度可以通过的,因此要优化。

想到一个数字与每个右边比它小的数字构成的都是一个逆序对,因此题目就转化成了如何求以每个数字开头的逆序对数。如果是求总的逆序对数,那么算法很简单了,用树状数组或归并排序统计都可以在 的复杂度内完成。想到这里,应该可以想到是要把求总的逆序对数的算法加以改造,统计出以每个数开头的逆序对数。

我选择使用归并排序的方法。在归并排序合并的过程中,i 指向左边的部分,j 指向右边的部分。i 指向的数字记为 [i]j 指向的数字记为 [j]。当 [i] 小于等于 [j] 时,没有逆序对产生,i 指针向后移。当 [i] 大于 [j] 时,在新的排好序的序列中,[j] 要出现在 [i] 之间,因此对于 [i] 以及它后面的所有数字,与 [j] 均构成了一个逆序对(因为根据归并排序的规则,左边的部分是排好序的,[i] 大于 [j] 那么 i 后面的数字一定都大于 [j])。

数据结构方面,一个长度为 n 的数组 result 表示结果,result[i] 表示原序列中下标为 i 的数字后出现的比它小的数字个数。一个 struct 作为排序的基本单元,其中 num 表示原数字,index 表示该数字在原序列中的下标。在归并排序合并的过程中,加入一个计数器 plus ,表示进行到 i 时已经与 [i] 产生逆序对的数的数量。这样每次把 [i] 加入排序后的数组时,result[[i].index] 的值就加上 plus。完整的一次归并排序后就完成了统计。

总结一下算法:

  1. 按输入序列顺序构造一个 struct 数组 counts,成员 num 为输入序列中数字的值,index 为原序列下标。
  2. 构造一个数组 result 作为结果,下标和原序列下标一一对应,值为原序列中该数字后比它小的数字的个数。
  3. counts 归并排序,在合并的过程中进行以下操作:
    1. i 指向左边的数组,j 指向右边的数组。计数器 plus 清零。
    2. 如果 [i] 小于等于 [j],那么 result[[i++].index] += plus
    3. 如果 [i] 大于 [j],那么 plus++j++
    4. 重复上述过程直到左边或右边为空。
    5. 如果左边为空,则直接把右边剩余的部分全部加到结果序列中,本轮归并结束。
    6. 如果右边为空,result[[i++].index] += plus 直到左边为空,本轮归并结束。
  4. 此时 result 数组即为所求。

心得

  1. 进入归并排序的函数时,要判断左边界是否小于右边界,不满足直接退出。不满足的情况有两种,一是左边界等于右边界,此时说明已经分到单个元素了;二是左边界大于右边界,这种情况会在输入序列为空的时候出现,因为进入的时候左右边界分别是 0 和 nums.size() - 1,如果输入序列为空,则左右边界值分别为 0 和 -1。
  2. 归并时的左中右划分。令 mid = (l + r) / 2,可不重不漏地把整个数组划分为 [l, mid][mid + 1, r] 两个部分。
  3. 归并时需要构造一个与当前区间相同大小的数组,用来存放本轮合并后的序列。在退出之前要把这段序列复制回原序列,然后销毁。